接續FRM問題－你問我答（一之三）問題三：中譯本p.218表中的(美式買權)3.32 8.68 1.5 4.74是如何算出來的??

原本我以為美式買權的價格是max(S-K,c)之中選其高，因為第三期之後是這樣計算的，但為什麼之後是以折算的方式計算??

回答：

由於使用複製投資組合的模擬法來評價選擇權，無法考量美式選擇權提前執行的機率，因此，須用二項式樹狀圖來評價美式選擇權。

這個方法包括把期間細分為n個區間 ，並建立一個樹狀圖，使得價格變動特性符合對數常態分配。

在每一個節點，期初價格S可以上漲至uS，其機率為p，或下跌到dS ，其機率為（1- p ），選出參數u , d , p 使得每一小的時間間隔內，預期報酬率和變異數等於連續過程中的參數。例如：u=e^σΔt^（1/2）, d=（1/ u）, p=（e^μΔt-d）/（u-d）

由於此為風險中立過程，總預期報酬率須等於無風險利率r，若有收益率為r^＊，則可得μ＝r－ r^＊。此時，樹狀圖是由目前的時間開始，直至到期日，由左至右。接著，評價衍生性金融商品是由樹狀圖的尾端開始，一直由後往前進行至期初時間點，由右向左。

首先，考量歐式買權，在時間點為T（到期日）和節點j時，買權的價值為Max（S（時間點為T，節點為j）－K,0 ），而在時間點T - 1 和節點j 時，買權為時間點T的節點j 和j + l 選擇權期望價值的折現值：

c（時間點為T-1，節點為j）＝e^－rΔt﹝pc（時間點為T，節點為j+1）＋(1－p)c（時間點為T，節點為j）﹞     

然後由樹狀圖倒退進行，直到目前的時間為止。

對美式選擇權而言，此程序有些微不同。在每一時點，持有者比較選擇權的存在價值和消失價值（亦即執行），美式買權在節點T - 1 , j 的價值為：

C（時間點為T-1，節點為j）＝Max﹝(S（時間點為T-1，節點為j）－K), c（時間點為T-1，節點為j）﹞