最近有許多同學來信問我有關FRM或CFA問題，為方便答覆同學的問題，我特別開闢一個「你問我答」專欄。只要你在閱讀過程碰到任何問題，歡迎在我的部落格http://www.wretch.cc/blog/vactorlee留下問題，我會儘速答覆。

有位同學來信問我三個FRM的問題，在此我分三篇公開答覆。

另外，因方程式公式無法呈現，因此以文字來敘述。

一、中譯本中p.209

公式(6.23)波動率的式子中為何相關係數的前面是減號??

二、EX6-13 1999-Q55

If the Garman-kohlhagen formula is used for valuing options on a dividend-paying stock, then to be consistent with its assumptions, upon receipt of the dividend, the dividend should be ??

三、中譯本p.218表中的(美式買權)3.32  8.68  1.5  4.74是如何算出來的??

問題一：

中譯本中p.209公式(6.23)波動率的式子中為何相關係數的前面是減號??

答覆：

p.209公式（6.23）

這裡主要是在描述交換選擇權（exchange option）。

所謂交換選擇權，是指以手上的B資產向對方交換取得A資產。所以這種交換選擇權的買權報酬即為：

買權=Max(A資產價值-B資產價值,0)

由於我們希望在這種買權裡可以得到兩種資產之較大者，也就是當我們手上的B資產價值大於A資產時，我們就不去交換，而放棄買權權利金。

可是若我們手上的資產價值大於A資產時，我們就會去執行，而拿B資產向對方交換取得A資產。

Max(A資產價值, B資產價值)= B資產價值+ Max(A資產價值-B資產價值,0)

既然是在比較這兩個資產的價值，並選擇其中的最大值，因此，此時的波動率σ自然是兩資產間差異的波動率，亦即為：

AB資產變異數= A資產變異數+ B資產變異數-2×AB資產相關係數×A資產標準差×B資產標準差

此與我們在傳統投資組合裡面有A與B兩種資產，所以整個投資組合的波動率，係把A資產與B資產的波動率加在一起，並再加上2×AB資產相關係數×A資產標準差×B資產標準差的方式不同。

由於你以前只學過投資組合的變異數表達方式，因此很容易搞混。

我建議同你可先翻到中文譯本的p.520，看看（16.3）公式有關追蹤誤差波動率（tracking error volatility, TEV）也有異曲同工之說明。

（16.3）公式為

追蹤誤差變異數=投資組合變異數-2×投資組合與指標的相關係數×投資組合標準差×指標標準差+指標變異數

此波動率是在說明相對風險（relative risk），係以投資組合的績效與指標的績效來相比較。因此，兩者績效差異的變異數也是要用投資組合（Portfolio, P）變異數與指標（Benchmark, B）變異數相加後，再減掉2×投資組合與指標的相關係數×投資組合標準差×指標標準差。

你現在不但了解p.209的（6.23）公式，也順便複習了p.520的（16.3）公式，可說是一舉兩得。

所以，如果我們再回過頭去看標準選擇權，只不過把資產B當成是現金（執行價格）。因此可視標準選擇權為交換選擇權的特例。