問題五：

在第374頁我不懂為何要把沒有違約和違約一次的機率相加，因為沒有違約的機率逹98.51不是指其VAR為0嗎??且為何只是加了一個投資組合且機率1.48%就可以使VAR為100000元??

答覆：

Handbook在這裡所要表達的觀念是：好的風險衡量，應具備次相加性（Subadditivity）。也就是

ρ（A+B+C）≦ρ（A）+ρ（B）+ρ（C）

左式表示三個債券擺在一個投資組合內的投資組合風險

右式表示三個債券的個別風險相加後的合計風險

因為左式三個債券擺在一個投資組合內的投資組合風險，應小於或等於右式的三個債券的個別風險相加後的合計風險。這樣才能說明投資組合分散風險的好處。第373頁的範例一開始是在說明一個債券在99%信賴水準的VAR為$0。

現在把有這樣相同違約機率的A,B,C三個債券擺在一個投資組合時，這個投資組合在99%信賴水準的VAR卻為$100,000。作者在這個例子裡刻意製造一個VAR並不具備次相加性的投資組合，所以他認為VAR並不是一個好的風險衡量。

A,B,C三個債券分別在右尾信賴水準為99%的VAR為$0。

故，

ρ（A）+ρ（B）+ρ（C）=$0

可是把A,B,C放在一個投資組合，在都沒有違約或違約一次的VAR卻為$100,000，故，

ρ（A+B+C）=$100,000

反而是ρ（A+B+C）＞ρ（A）+ρ（B）+ρ（C）

也就是投資組合的VAR＞個別資產VAR的相加，違背次相加性。

你在第五個問題裡問到的第二個小問題提到沒有違約的機率為98.51%，故其VAR為$0（注意，是在右尾98.51%信賴水準時，才是）是對的。

（一）並非加了一個投資組合機率1.48%就可以使VAR為$100,000的理由如下：

其實98.51%與1.48%都是在同一個投資組合內的不同機率。98.51%是這三個債券都不違約的機率，而1.48%是只有一個債券違約的機率。因為我們要計算這個投資組合在三個債券都不違約或只有一個債券違約的VAR，所以要先算出三個債券都不違約的機率，再加上只有一個債券違約的機率，而為98.51%+1.48%=99.99%，與回答你的第三個問題同樣的方式，此時若右尾信賴水準為98.51%，則VAR為$0。但是，只要右尾信賴水準大於98.51%，而一直到99.99%（自然包括中間的99%）之間的VAR皆為$100,000。

（二）把沒有違約和違約一次的機率相加的理由如下：

之所以要將98.51%與1.48%相加，是因為所得到的99.99%機率是投資組合的債券都不違約（98.51%）或只有一個債券違約（1.48%）的機率，才能與一個個別債券不違約（99.5%）或違約（0.5%）相比較。兩個條件一樣才能比較兩個的風險那一個大（第一個風險是三個債券的個別VAR相加。第二個風險是投資組合之VAR。）